2023年更生日報盃數學大賽國二試題
（單選題共25題，每題4分，共計100分，答錯不倒扣）

1. 的正因數有幾個 
   (A) (B) (C) (D)
   解：( D )， 正因數有
   
   
2. 設 與  的最大公因數為 ，且 則  
   (A)12 (B)18 (C)24 (D)30
   解：( B )，令 ，則 。由題意6a＋12b＝42，故 a＋2b＝7，a＝5，b＝1 x＝30，y＝6 x－2y＝18
   
   

3. 設 除以 2430 的餘數是 189，且  與 2430的最小公因數為 ，則
   (A) 
   (B) 
   (C) 
   (D)因為不知道是多少，所以無法求出
   解：( C )，由輾轉相除法知 y=(x,2430)=(2430,189)=27
   
   
4. ()？
   (A)(B) (C) (D)
   解：( A )，原式
   
   
5. 十進位表示法中一位數的質數全部寫出由小到大為
   (A)
   (B) 
   (C) 
   (D)
   解：( D )，0與1都不是質數，2,3,5,7是質數，4,6,8,9不是質數
   
   
6. 將 所有正因數由小到大寫出為，則？
   (A)(B)(C)(D)
   解：( C)，，故
   
   
7. 假設某年更生盃數學大賽報考學生人數為n，已知 n<10000 且滿足 n 除以7餘5，除以29餘27，除以31餘29。有關 n 的敘述何者正確？
   (A)
   (B) 
   (C) 
   (D)因為條件不足，所以不能確定
   解：( B )，能被7,29,31整除，故為它們的最小公倍數6293的倍數
   
   
8. 某學生寫計算題得正確答案n，此正確答案為兩位數且為3的倍數，但寫答案時個位數與十位數顛倒而得到的錯誤答案比正確答案n小45，則下列敘述何者正確？
   (A)是9的倍數
   (B) 不是8的倍數
   (C) 
   (D) 
   解：( A )，令，則，故 
   
   
9. 若買數枝10元和15元的原子筆共花了115元，則兩種筆的枝數差距可為
   (A)(B) (C) (D) 
   解：( C )，因為共花了115元，故15元的筆必為奇數枝。15元的買1枝則10元的買10枝，15元的買3枝則10元的買7枝，15元的買5枝則10元的買4枝，15元的買7枝則10元的買1枝
   
   
10. 若10，則？
    (A) (B) (C) (D)   
    解：( D )，通分得 10，化簡後得
    
    
11. 若 ，則下列敘述何者錯誤？
    (A) 為負數
    (B) 
    (C) 
    (D) 是5的倍數
    解：( A )，由  與  得 ，隨之，  
    
    
12. 若 與  滿足  與 ，下列敘述何者正確？
    (A) (B) (C) (D) 
    解：( C )，將視為單一的變數，由加減消去法可得  
    
    
13. 某人全家邀約鄰居全家某日同遊某遊樂園。假設入園全票為300元，半票為150元，某人買9張票，鄰居買7張，但某人比鄰居少付150元。請問某人買的半票比鄰居買的半票多幾張？
    (A)(B) (C) (D) 
    解：( C )，設鄰居買半票 張且某人半票比鄰居多買 張，則
    化簡後得 ，故
    
    

14. 有父子二人，十年前父親的年齡是兒子的三倍，如今父親的年齡比兒子年齡的兩倍還多三歲，設現在父親歲，兒子歲，下列敘述何者正確？
    (A) x 是質數
    (B)  不是質數
    (C)
    (D) 
    解：( D )，由題意知 將之代入得 ，故，隨之，

15. 下圖表示某中學校園圍牆外的正八邊形外環道路，若某人開車從A點出發以逆時鐘方向繞此正八邊形，出發時車頭朝B點方向，則請問當開到線段EF的中點時，某人一共轉了多少度？
    
    (A)90° (B)180° (C)270° (D)360°
    解：( B )，未繞完一圈且射線AB與射線EF的方向恰好相反，故為180°
    
    
16. 某實驗室內有1公升的瓶子內有600毫升的95%的酒精溶液，今因應新冠疫情消毒需要用75%的酒精溶液，假設酒精溶於水後酒精與水的體積變化可以忽略不計，請問需要向瓶中加入純水若干？
    (A)(B) (C) (D) 
    解：( A )，設加水 毫升，則，故，得
    
    
17. 將二元一次方程式的圖形向下平移4單位長後所得到的新圖形可以用下列哪個方程式來表示？
    (A)
    (B)
    (C)
    (D)
    解：(C)，向下平移4就是y的值減4，故方程式可由原先的以開頭的方程式減4而得，故得
    
    
18. 若 ，則 ？
    (A)(B) (C) (D)
    解：(B)，
    
    
19. 若與成反比且當 時 ，則當  時 ？
    (A) (B) (C) (D)
    解：(A)， 代入與 得，故當 時
    
    
20. 若從20、25、30、35、55這五個數字中任取三個相異數為邊長，則可得多少的相異的三角形？
    (A)(B) (C) (D)
    解：(D)，若不取55，則20、25、30、35四數中任三數皆可形成三角形，若取55為一邊，則只能再選35為一邊，剩下只能選30或25，故總共有個相異的三角形
    
    
21. 若已知不等式 的解是，則？
    (A) (B) (C) (D)
    解：(B)，原式化簡得 ，故當
    
    
22. 某校的段考成績計算採用加權平均方式：各考試科目的原始分數乘以該科每週表定時數後加總除以各考試科目表定時數的和。假設每週課表為國文五小時，英文四小時，數學、自然、社會皆為三小時。若某學生某次段考平均分數不低於90分，且國文為94分，英文為85分，問該生的數學、自然、社會三科的總分至少為多少分？
    (A)(B) (C) (D)
    解：(C)，設數學、自然、社會三科總分為x分，則，得，故，得
    
    
23. 若某國為了投資公共建設要發行國債，該國財政部預計未來四年國債成長比率為50%、40%、20%、10%，則五年後國債最接近今年初的多少倍？
    (A)(B) (C) (D)
    解：(D)，5
    
    
24. 若四邊形ABCD對角線與BD垂直，AC的長度為8，BD的長度為10，則四邊形ABCD的面積為？
    (A)(B) (C) (D)70
    解：(A)，8
    
    
25. 有一對姊弟和他們的媽媽要從甲地沿著直線馬路到乙地，該媽媽有一輛腳踏車時速20公里但只能載一個小孩，姊弟步行時速皆為5公里。今該媽媽請弟弟步行往乙地，並同時出發載姊姊至甲乙之間的丙地放姊姊下車後請姊姊步行至乙地，然後媽媽騎車折返到甲丙之間的丁地正好碰到弟弟後，再載弟弟直接至乙地，而且剛好與姊姊同時到達。請問姊姊從甲地到乙地的平均時速是多少公里？
    (A)(B) (C) (D) 
    解：( A )，無論是姊姊或弟弟，考慮步行距離比甲地至乙地全部距離是 ，因為甲地至乙地距離是固定的數 ，則所需時間，故時間是 的遞增函數，而姐姐與弟弟同時到達，故兩人步行距離相同。又，媽媽騎車騎了 的距離所花的時間與姊弟相同，所以，得 。隨之，姊姊從甲地到乙地的平均時速為